欧拉数(e)的发展历史

 公司新闻     |      2016-01-10

在数学中,有一些精心挑选的神奇常数贯穿所有的分支。这些常数在我们的历史中不断被发现,为我们的日常生活提供了数字基础;就像周期表中的化学元素一样,数学中的特殊常数是基础性的。举几个例子,我们有0,圆周率π, - 1 (i)的平方根,当然还有指数国王,欧拉常数“e”(~2.718)。

这篇文章的重点是深入研究“欧拉数”,也被称为“纳皮尔数”(Napier’s number),更常见的说法是自然对数e。对于外行来说,e是指数关系的关键,特别是与任何不断增长的事物相关。

就像每一个数字都可以被认为是1(基本单位)的倍数,每一个圆都可以被认为是单位圆(半径1)的比例,每一个增长率都可以被认为是e(单位增长,完美复合)的比例。e是所有持续增长过程共享的基本增长率。当系统呈指数增长时,它就会出现:人口、放射性衰变、利息计算等等……e代表了所有持续增长的系统的一个基数。

下面,我们将探访为这一发现做出贡献的三个人:约翰·纳皮尔、雅各布·伯努利和伦纳德·欧拉。

发现e的第一步始于一个苏格兰博学者:约翰·纳皮尔。纳皮尔的贡献并非来自纯粹的数学理论,而是一种实际的需要:在将非常大的数字相乘时,一种计算捷径。

在他那个时代,一个常见的问题是,天文学家反复观察潜在的新发现,但他们却被无休止的计算所困扰,这些计算导致了不准确或彻底放弃了进展。就像乘法是加法的快捷方式,指数是乘法的快捷方式一样,纳皮尔找到了计算的下一个快捷方式:指数的快捷方式。

纳皮尔对对数的最初讨论出现在他1614年出版的《米里菲西对数规范描述》一书中。与今天使用的对数不同,纳皮尔的原始对数以1 / e为底且包含一个常数(10^7)。纳皮尔把他的对数定义为几何形式的两个距离之比,而不是目前把对数定义为指数。虽然不是我们今天使用的对数,但我们将在下面讨论Napier如何推导它。

纳皮尔把对数的概念建立在运动学框架上。他想象两个粒子沿着两条平行线运动;第一条线无限长,第二条是固定长度。纳皮尔设想这两个粒子以相同的速度同时从相同的位置出发。他使第一个粒子在无限长的直线上作匀速运动,使它在相等的时间内走过相等的距离。第二个粒子在有限线段上运动,使其速度与粒子到线段固定终点的距离成正比。

纳皮尔的平行线与移动的粒子-科学系列的里程碑更具体地说,在任何时刻,在第二条(有限)线上未经过的距离是正弦值,而在第一条(无限)线上经过的距离是正弦值的对数。结果是,当正弦值减少时,纳皮尔对数值增加。此外,正弦函数的几何比例减小,而对数函数的算术比例增大。

第一列中的值对应于第三列中角度的正弦值,其对应的对数放在第二列的中间。同样的表值可以在下面的表的前六行中看到。

为了完成他现在著名的对数表,纳皮尔自己计算了近1000万个条目,从中选择合适的值。历史证据表明,纳皮尔至少花了20年的时间,创造了以下表格:

科学的里程碑系列再次,值得重申的是,纳皮尔最初提出的对数与后来普遍采用的对数明显不同。最主要的是,大多数从事艰苦计算的人通常是在三角学的背景下做的。因此,在发展对数关系的同时,纳皮尔把它放在三角函数的背景下,所以它会更相关——它与指数增长的联系,在几十年内不会发生。

然而,事实仍然是,世界上很少有数学发明像纳皮尔对数那样出乎意料地突然出现。尽管各种不同的分支(通过加法相乘的思想,比较算术和几何级数的思想,运动的概念的使用)在某个阶段都已经浮出水面,纳皮尔的工作受到的热情表明认为这是一项新颖的发明,并且满足了迫切的需求。将对数定义为指数的可能性并不为人所知,直到伯努利和欧拉出现。

雅各布伯努利对e地发现的贡献,恰好以一种对金融的好奇拉开了序幕。起初,他做了一个思维实验,思考在相同的速度下,在不同的时间段内,复合增长是如何改变主要产出的。下一系列的例子都使用了标准的年度增长公式:

伯努利的逻辑是基本的,想象一个例子银行账户A,从1元开始,每年支付100%的利息。年底本金为2元。但是现在,不是将全部100%复利一次,而是以50%的利率复利两次,那么到年底的本金为2.25元;如果是以33%的利率复利3次,则年底的本金为2.37元;如果我们按季度计算(复利4次),一年后本金为2.44元!

正如伯努利所注意到的,增加复利周期的频率,同时保持增长率不变,增加了我们的产出;然而,产出原则是在一个递减的速度增加。例如,半年复利导致12.5%的增长,每四个月复利导致18.5%的增长,季度复利导致22%的增长。随着复利周期的增加,然而,这种增加是以递减的速度增长的。

这暗示了在足够长的时间轴上的收敛,这让我们知道我们在处理一个无穷级数,所以我们求助于求极限的微积分工具。正如伯努利自己思考的那样,当我们以更快的频率复利时,我们的原则会发生什么变化——比如,如果我们每周复利(2.69元),甚至每天复利(2.72元)。很明显,更频繁地计算复利会导致银行里有更多的钱,所以很自然地要问,当利息每时每刻(也就是连续不断地)以复利计算时,会发生什么?

伯努利以n为复利区间的个数,每个区间的利率为100%,建立了一个极限函数,欧拉将在40年后得到这个极限函数:

伯努利被认为是第一次把e写下来的人,因为他确实通过上面的计算接近了e的值(2.718281)。然而,直到欧拉,e的重要性才真正被发掘并嵌入到日常数学术语中。

令人震惊的是,伦纳德·欧拉与e这个数字几乎没有任何关系,只是给它加上了一个令人难忘的名字。他的一个真正的技术贡献来自于证明e是非理性的,通过把它重新写成一个收敛的无穷阶乘级数:

他的第二个贡献,就是常量e以其首字母开头的核心原因,仅仅是因为他在给同事的一封信中著名地使用了常量,并在历史上将其声明为e。巧合的是,“ e”是指数形式的第一个字母,但是,对于是否有意以自己的名字命名,尚无定论。事实可能更平淡无奇:欧拉在其他一些数学著作中使用字母a。

不管是什么原因,符号e在1731年欧拉写给哥德巴赫的信中首次出现。在接下来的几年中,他对e有了各种各样的发现,但直到1748年欧拉在《分析的无限》中发表了前言,他才对围绕e的思想进行了全面的论述。

像π一样,e是可导数,但仍保持其神秘的吸引力。花一点时间真正地理解以上内容—如果我们绘制等式y = e ^ x,我们会发现:

这条曲线在任意点处的斜率也是e^x从负无穷大到x的曲线下面积也是 e ^ xe和e ^ x的函数是所有数学中唯一一个常数,使上面的两点都成立。这很重要,因为它再次展示了e与持续增长的关系如何紧密地交织在一起。就像在我们共同的现实世界中反复出现的其他美丽,完美的常量一样,这是令人难以置信的乐趣和收获。谁知道还有多少其他特殊数字?我们的宇宙是无限的,因此我们几乎不可能发现所有关键常数。也许,从现在开始的一个世纪后,π和e只会是许多神秘数字之一。